Поняття множини. Способи задання множин. Операції над множинами та їхні властивості. Підмножини

4. Ідемпотентність A ( A = A; A(A = A. (1.2)

= A.

.

Зазначимо, що правила де Моргана припускають узагальнення для сукупності множин:

.

Наведемо ще ряд корисних теоретико-множинних тотожностей:

A ( ( = A, A(( = (;

A ( E = E, A(E = A;

= (; (1.3)

= E.

Окремо запишемо властивості операції симетричної різниці:

(B),

(A(B)(C = A((B(C) (асоціативність),

A(B = B(A (комутативність) (1.4)

A((B(C) = (A(B) ((A(C) (дистрибутивність відносно перетину),

, A(( = A.

Приклад 1.8. Покажемо істинність однієї з наведених тотожностей - правила де Моргана.

. (1.5)

Доведемо спочатку, що

. (1.6)

.

Доведемо обернене включення

. (1.7)

. Зі справедливості обох включень (1.6) і (1.7.) випливає істинність рівності (1.5).

Аналогічно можуть бути доведені всі інші наведені теоретико-множинні тотожності. Ці тотожності дозволяють спрощувати різні складні вирази над множинами.

Приклад 1.9. Послідовно застосовуючи тотожності з (1.2) і (1.3), маємо

)) (C = E(C = C.