Лінійні неоднорідні системи, Детальна інформація

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи.

буде розв’язком неоднорідної системи.

можна розв’язати довільну задачу Коші

.

і система алгебраїчних рівнянь



є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.

Нехай маємо систему



,чи в матричній формі

,

- вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо

,

чи

.

- фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то

.

.

Розписавши покоординатно, одержимо



визначаються в такий спосіб







Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд

.

Для лінійної неоднорідної системи на площині