Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами, Детальна інформація
Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами
Тип документу: Реферат
Сторінок: 6
Предмет: Математика
Автор: Олексій
Розмір: 80.5
Скачувань: 1141
Реферат на тему:
Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами
Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.
-го порядку зі сталими коефіцієнтами
(5.26)
.
Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.
(5.27)
.
Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в вигляді
(5.28)
– деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні). Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо
(5.29)
, тобто
(5.30)
Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені характеристичимичислами Д.Р. (5.27).
Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.
дійсні і різні.
дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формулє
Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно
- різні.
В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд
(5.31)
в області
(5.32)
– довільні сталі.
б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.
. Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.
Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами
Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.
-го порядку зі сталими коефіцієнтами
(5.26)
.
Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.
(5.27)
.
Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в вигляді
(5.28)
– деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні). Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо
(5.29)
, тобто
(5.30)
Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені характеристичимичислами Д.Р. (5.27).
Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.
дійсні і різні.
дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формулє
Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно
- різні.
В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд
(5.31)
в області
(5.32)
– довільні сталі.
б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.
. Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.