Софізми в математиці, Детальна інформація

Отож бо помилки йдуть від порушень законів логіки, або інших математичних законів. Паралогізми чекають на неуважних або недостатньо натренованих у складному мистецтві міркувань. Софізми - навмисне розставлені логічні пастки. Але бувають й інші, тривожніші, справді катастрофічні ситуації в пізнавальній діяльності людини. Іноді правильні формально-логічні міркування приводять до результатів, які не узгоджуються з загальноприйнятою думкою, здаються безглуздими. Це парадокси (з грецької - несподіваний, дивовижний). Давньогрецький філософ Діодор Кронос, не розв'язавши однієї з найдавніших логічних загадок - парадоксу Евбуліда, помер від розпачу, а інший філософ Філет Косський, зазнавши такої самої невдачі, кінчив життя самогубством. Ще складнішими були парадокси (апорії) Зенона Елейського. Парадокси виникали і виникають в усіх галузях людської діяльності. Вивчення парадоксів, спроби їх розгадати й знешкодити мають не тільки теоритичний інтерес. Якщо в логіці Й математиці можливі парадокси, то де гарантія, що в складну програму ЕОМ, яка керує, наприклад деякими життєвоважливими процесами, не прослизне один з них? Тоді такий парадокс може обернутися трагічними подіями в реальності.

Що ж до софізмів, то вони безпечні, захоплюючі, виконують навчальну та розважальну функції. Наведемо приклади деяких математичних софізмів за підрозділами: арифметика, алгебра і початки аналізу, геометрія, логіка.





АРИФМЕТИКА

1. 3 = 5 Маємо очевидну рівність 25 - 15 - 10 = 15 - 9 - 6, звідки 5 (5 - 3 - 2)=3 (5 - 3 - 2), або 5 = 3.

2. 5 = 7 Нехай a = 3/2 b, або 4a = 6b. Тоді 4a = 14a - 10a, а 6b = 21b - 15b, звідки 14a - 10a = 21b - 15b, або 15b - 10a = 21b - 14a, або 5 (3b - 2a) = 7 (3b - 2a), або 5 = 7.

3. 1 = 2 1 - 3 + (9/4) = 4 - 6 + 9/4, (1 - 3/2) (1 - 3/2) = (2 - 3/2) (2 - 3/2), (1 - 3/2)2 = (2 - 3/2)2, 1 - 3/2 = 2 - 3/2, 1 = 2.

4. Розширимо можливості скорочення дробів, наприклад, у такий спосіб:16/64 = 1/4 ; 19/95 = 1/5 ; 1998/8991 = 198/891 = 18/81;

5. Нове правило дії над дробовими числами:(9 - 25) / (6 + 10) = (9 / 6) - (25 / 10); (121 - 64) / (55 + 40) = (121 / 55) - (64 / 40); (80 - 50) / (2 + 5) = (8 / 2) - (50 / 5).

6. Просте і корисне правило спрощення: (53 + 43) / (53 + 13) = (5 + 4) / (5 + 1) = 3 / 2; (63 + 43) / (63 + 23) = (6 + 4) / (6 + 2) = 5 / 4.

7. Сума (різниця) двох чисел дорівнює їх добутку (частці): 55/4 = 5*5/4; (36/5) - 6 = (36/5) / 6.

8. Логарифм суми дорівнює сумі логарифмів: lg (16 + 16/15) = lg (16) + lg (16/15); lg (17 + 17/16) = lg (17) + lg (17/16).



Відповіді, розв'язання.

1, 2. Софізм засновано на типовому випадку замаскованого виконання забороненої дії - ділення на нуль. Заборона ділення на нуль - одне з фундаментальних положень усієї математики. Варіації цього софізму існують і в алгебрі, і в геометрії, ів тригонометрії.

3. Неправомірне поширення істиності прямої теореми: "Якщо числа рівні, то і квадрати їх рівні" на обернену: "Якщо квадрати двох чисел рівні, то й ці числа рівні".

4. Справді існують окремі види дробів, у яких можна закреслювати в чисельнику та знаменнику "зайві" цифри, не змінюючи величини дробу. Скорочення цього типуможливі лише для дробів такого виду:amm...mb / bmm...ma = ab / ba, де a + b = m i a < b. Існує тільки 16 дробів такого виду.

5. Рівність (a - b) / (c + d) = (a / c) - (b / d) еквівалентна таким (при c, d 0 i (c + d) 0): (a - b) cd = (c + d) (ad - bc); acd - bcd = acd + ad2 - bc2 - bcd; ad2 - bc2 = 0 і справджується тільки при виконанні цих умов.

6. Це корисне правило також не є загальним, і може бути застосовано тільки до числових виразів спеціального виду. Воно засноване на формулі (a3 + b3) / (a3 + (a - b)3 = (a + b) / (a + (a - b).

7. Правило справджується для чисел виду a + (a/a-1) = a*(a/a-1) i a2 / (a - 1) = (a2 / (a - 1)) : a , де а>0.

8. lg (a + b) = lg a + lg b, звідси b>1 i a =b / (b - 1).

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

1. 2 * 2 = 5. А) Нехай a = b + c, тоді 5a = 5b + 5c і 4b + 4c = 4a . Додавши почленно дві останні рівності, дістанемо 4b + 4c + 5a = 5b + 5c + 4a; тепер, віднявши від обох частин по 9а, матимемо: 4b +4c - 4a = 5b + 5c - 5a, або 4 ( b + c - a ) = 5 ( b + c - a ), звідки випливає, що 4 = 5. B) Нехай b - будь-яке число і a = b+1 (1). Помноживши рівність (1) почленно на ( a - b ), матимемо a2 - ab = ab + a - b2 - b, або a2 + + b2 = 2ab + a - b (2). Підставивши в рівність (2) значення a = 2 іb = 2, маємо 4 + 4 = 8 + 2 - 2, тобто правильну рівність. Тому й вихідна рівність a = b + 1 буде правильною при a = b = 2, таким чином, 2 = 2 +1, або 4 = 5.

2. Будь-яке число дорівнює своїй половині. Нехай a = b , або a2 = ab, тоді a2 - b2 = ab - b2, або (a + b)(a - b) = =b (a - b), звідки a + b = b. Оскільки, за умовою a = b, то 2b = b або b = 1/2 b.

3. Усі числа рівні між собою. Нехай a та b - два довільних числа і a > b. Тоді завжди існує число d - середнє арифметичне чисел a i b, тобто (a + b) / 2 = d, або a + b = 2d, (1)з рівності (1) дістанемо: b = 2d - a i (2)2d - b = a. (3)Перемноживши рівності (2) і (3), дістанемо 2db - b2 = 2ad - a2. (4)Віднімемо почленно рівність (4) від очевидної рівності d2 = d2, матимемо d2 - 2db + b2 = d2 - 2da + a2, або (d - b)2 = (d - a)2, або d - b = d - a. Звідси a = b.

4. 0 = 1. Розглянемо систему рівнянь: x3 - y3 = 3xy (x - y), (1) x - y = 1. (2)Рівність (1) можна переписати так: (x - y)3 = 0. В силу (2) получаем 13 = 0. Отож маємо: 1 = 0.

5. 4 > 12. До обох частин очевидної нерівності 7 > 5 додамо по (- 8), тоді 7 - 8 > 5 - 8 , або -1 > -3. Тепер, помноживши почленно останню нерівність на (-4), дістанемо (-1)*(-4) > (-3)*(-4) , або 4 > 12.

6. 0 = 4. Розглянемо нескінчений ряд 4 - 4 + 4 - 4 + ... і обчислимо в різний спосіб його суму S. По-перше, згрупувавши члени по два, дістанемо: (4 - 4) + (4 - 4) + ... = 0. Тепер згрупуємо члени ряда по два, починаючи з другого члена: 4 - (4 - 4) - (4 - 4) - ... = = 4. Оскільки S = 0 i S = 4, то 4 = 0.

7. Доведемо методом математичної індукції твердження: у всіх кішок очі одного і того самого кольору. Для n =1 (одна кішка) твердження очевидно справджується.Припустимо, що твердження правильне для n, тобто, що будь-які n кішок мають однаковий колір очей. Доведемо, що воно правильне і для n+1. Візьмемо довільну сукупність із n+1 кішок і пронумеруємо їх. За індуктивним припущенням кішки з номерами від 1 до n мають однаковий колір очей, кішки з номерами від 2 до (n + 1) (їх також n штук) теж мають один і той самий колір очей. В обидві множини входить, наприклад кішка номер 2. Тому у всіх (n = 1) кішок очі одного кольору. Такий результат викликає заперечення, але хіба можна встояти перед силою неспростованих висновків математичної логіки?