Софізми в математиці, Детальна інформація

Відповіді, розв’язання.

1. A) b + c - a = 0. Отже виконана неприпустима дія - ділення на нуль.B) Рівність справджується тільки при a = b + 1, а тому не можна брати значення a = b = 2.

2. 3b - 2a = 0, замасковане ділення на нуль.

3. Помилка при добуванні квадратного кореня з обох частин рівності.

4. Рівність 1 = 0 тільки доводить, що дана система рівнянь несумісна.

5. При множенні або діленні обох частин нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

6. Числовий ряд u1 + u2 + u3 + u4 + ... називають збіжним або таким, що має суму, якщо послідовність його частинних сум S1 = u1, S2 = u1 + u2, S3 = u1 + u2 + u3, ... має скінченну границю lim Sn = S, n ® Ґ. Число S при цьому називають сумою ряду і записують S = u1 + u2 + u3 + ... Якщо послідовність частинних сум ряду розбіжна, то ряд є розбіжним і немає суми. Легко перевірити, що послідосвність частинних сум ряду, що розглядається, не має скінченної границі (S1 = 4, S2 = 0, S3 = 4, S4 = 0), тому він є розбіжним, і не має суми. Застосування до розбіжного ряду поняття суми привело до парадоксальних висновків. В сімнадцятому столітті поняття збіжності рядів що не було встановлено. Тому багато математиків потрапляли у подібні ситуації. Наприклад, Лейбніц довго прагнув знайти практично не існуючу суму розбіжного ряду. Про розбіжні ряди Абель писав: "Розбіжні ряди - в цілому витвір сатани, і це ганьба що дехто дозволяє собі грунтувати на них яке б то не було доведення".

7. Доведено другу частину індукції, але при n = 1 висловлення не має смислу.





ГЕОМЕТРІЯ

1. Будь-яке коло має два центри.Нехай прямі BD та AD перетинаються в точці D. Побудуємо CB^BD, CA^AD і коло, яке проходить через точки A, B, C й перетинає BD та AD відповідно в точках K i M. Тоді РKBC = РMAC = 900. Звідси випливає, що ці кути спираються на діаметри KC і MC одного і того самого кола. Середини відрізків KC і CM - точки O1 і O2 є двома різними центрами одного і того самого кола.

2. Відрізки паралельних прямих, вміщені між сторонами кута, рівні.Нехай CED - довільний кут і CD || AB. Тоді AE : CE = BE : DE, звідки AE * DE = BE * CE. (1) Помножимо почленно рівність (1) на різницю AB - CD і виконаємо такі перетворення: AE * DE * AB - AE * DE * CD = BE * CE * AB - BE * CE * CD, AE * DE * AB - BE * CE * AB = AE * DE * CD - BE * CE * CD, AB ( AE * DE - BE * CE ) = CD ( AE * DE - BE * CE ), звідки AB = CD.

1. Частина відрізка прямої дорівнює всьому відрізку. Перетнемо довільно взяту пряму в точках A і B прямими MN і PQ , перпендикулярними цій прямій. Проведемо пряму ED, яка перетинає пряму MN у точці E, AB в C і PQ в D. Трикутник CBE подібний трикутнику AEC, звідки BD : AE = CB : AC;BD : AE = ( AB - AC ) : AC. (1)Побудуємо пряму FH || AB, тоді з подібності трикутників CBD та FHD маємо: BD : HD = BC : FH або BD : HD = ( AB - CA ) : FH. (2) Із співвідношень (1) i (2) знаходимо BD: BD = AE ( AB - AC ) / AC = HD ( AB - AC ) / FH, або AF * FH * AB - AE * FH * AC = AC * HD * AB - AC2 * HD. (3) Додамо до обох частин рівності (3) різницю AE * FH * AC - - DH * AB * AC, зведемо подібні члени і винесемо за дужки спільний множник AB ( AE * FH - AC * HD ), звідки AB = AC.

1. Зовнішній кут трикутника дорів-нює внутрішньому, не суміжному з ним. Нехай у чотирикутнику ABCD РA + РC = 1800. Оскільки будь-які три точки, які не лежать на одній прямій повністю визначають положення кола, то можна стверджувати, що через точки A, B і C проходить єдине коло. Точку перетину його із стороною DC позначимо через E. Побудувавши відрізок BE, маємо чотири- кутник ABED, вписаний в коло, причому РA + РE = РB + РD = = 1800 . Оскільки РA + РC = 1800 і РA + РBED = 1800, то РBED = РC.

1. Опукла обвідна ламана коротша за опуклу ламану, яку вона охоплює. Відрізки AB і BC обвідной візьмемо довільно, а відрізки AD і DC - пропорційні до відрізків і обвідної: AD = k AB, DC = k BC , де k - будь-який додатній дріб. З останніх рівностей маємо: -AD = k (-AB) і -DC = k (-BC), -AD + (-DC) = k (-AB + (-BC)), (-AD + (-DC)) : (-AB + (-BC)) = k , але k = AD : AB, тому ((-AD)+ (-DC)) : (-AB) + (-BC))=AD : AB. (1) В останній пропорцій попередній член у правій частині менший за наступний ( AD < AB ), а тому й попередній її член в лівій частині теж має бути меншим за свій наступний: ((-AD) + (-DC)) < ((-AB) + (-BC)) (2) звідки AB + BC < AD + DC.



1. Квадрат будь-якої сторони у будь-якому трикутнику дорівнює сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника.Візьмемо довільний трикутник ABC і побудуємо ще прямокутний трикутник BCD. Тоді AC2 = AD2 + CD2 (1) і BC2 = CD2 + BD2, CD2 = BC2 - BD2 (2). Підставимо значення з рівності (2) в рівність (1): AC2 = AD2 + BC2 + BD2 (3), або AC2 - BC2 = AD2 - BD2 (4). Але AD = AD + BD, тому AD2 - BD2 = AB2. Підставивши в рівність (4) замість різниці AD2 - BD2 значення AB2, яке їй дорівнює, матимемо, AC2 - BC2 = AB2 або AC2 = AB2 + BC2. Аналогічно Чернишевський "доводить", що BC2 = AC2 + AB2, і закінчує лист словами: "... десь тут має приховуватися обман; відкривши його, ти зробиш велику послугу люблячому тебе брату Миколі Чернишевському".

1. Числені геометричні софізми засновано на принципі прихованого перерозподілу площ прямолінійних плоских фігур. Як ось, наприклад: а) Розріжте зображену фігуру по діагоналі і зсуньте нижню частину прямокутника вздовж розрізу вниз і вліво на відстань між сусідніми лініями. А тепер порахуйте лінії. Виявляється одна з них зникла!



Відповіді і розв'язання.

1. Неправильна побудова. Точка C не належить колу.

2. Допущено почленне ділення рівності (2) на вираз AE * DE - BE * CE, який згідно з рівністю (1) дорівнює 0.

3. У ланцюгу правильних висловлень допущено одну помилку зумовлену замаскованим виконанням неможливої дії - ділення на 0. Із пропорції AE * AC = DH * FH (для сторін подібних трикутників ACE і HFD випливає, що AE * FH - AC * HD = 0).

4. Оскільки в чотирикутнику ABCD за умовою РA + РC = 1800 і вершини A, B і D лежать на колі, то і четверта вершина C лежить на тому ж колі. Отже точки E і C мають збігатися трикутник BCE не може існувати. Він вироджується в сторону чотирикутника ABCD.

5. Помилка поширення властивості певного виду на весь рід допущена при переході від рівності (1) до рівності (2). Подане твердження справджується тільки на множині цілих додатніх чисел і не є істинним на числових множинах, які містять від’ємні числа, а саме цей випадок маємо при переході від (1) до (2).

6. Допущено логічну помилку "не випливає", яка полягає в порушенні закону достатньої підстави - в процесі доведення тези висуваються аргументи, самі по собі правильні, але такі , що з них не випливає висловлювання, істинність якого потрібно довести. З рівності AD = AB + BD випливає, що AB= = AD - BD, але зовсім не випливає, що AB2 = AD2 - BD2. Мало б бути: AB2 = AD2 - 2AD*BD +BD2.

7. Отримані 9 ліній стали трохи довше, вони ніби увібрали в себе ту лінію, що зникла.



Зорові помилки й парадокси використав у своїх картинах відомий голландський художник Мауріц Корнеліус Ешер (1898 - 1972). Своїми малюнках він глузує з певних особливостей нашого сприймання тривимірного світу, створюючи насправді вражаючи, просто дивовижні ефекти.