Різницевий метод розв`язування звичайних диференціальних рівнянь. Апроксимація. Метод прогонки, Детальна інформація

Щоб одержати апроксимацію вищого порядку, треба використовувати тривіальні умови



; із рівняння

Замість задачі (14), (15) можем розглядати задачу



тому, що розв'язок задачі (14-15) однозначно визначається умовами (14), (16).

Для підвищення порядку апроксимації можна користуватись ще формулами:



Метод прогонки



Виберемо сітку х0, х1…хN , x0=a, xn=b, h=(b-a)/n



Різницеву схему (3), (4) перетворимо до вигляду:



Розглянутий метод називається різницевим методом прогонки.

Якщо різницева задача (5),(6) має вигляд:





То проводячи аналогічні викладки одержимометод правої прогонки, якщо



то метод буде стійким до похибки округлень



Якщо виконуються умови:



то можна застосовувати метод лівої прогонки, який буде стійкий до похибок заокруглень

Приклад: знайти розв'язок задачі



в точках хn=0, 1n, n=0,1,…10

Розв'язок:

Практична задача апроксимується на сітці хn=0, 1n, n=0,1,…10 різницевою схемою