Обчислення визначника методом Гауса, Детальна інформація

Сутність індексів у елементах матриці така сама, як і в елементах квадратної матриці другого порядку.Елементи a11,a22,a33 – утворюють головну діагональ матриці а13, a22,a31 – побічну.

Визначником третього порядку, що відповідає матриці, називається число, яке визначається рівністю:

=а11а22а33+а12а23а31+а13а21а32-а13а22а31-а12а21а33-а11а23а32.

Звертаємо увагу на те, що перші три доданки у правій частині становлять добутокелементів визначника, взятих по три.

Щоб дістати наступні три доданки у правій частині, потрібно перемножити

елементи визначника по три , після чого знак кожного із знайдених добутків замінитина протилежний.

Це правило утворення доданків, що входять у праву частину, називається правилом трикутника. Воно дає змогу без напруження пам’яті обчислити визначник третього порядку з чисельно заданими елементами, не записуючи

формули.

Властивості визначників другого та третього порядків.

Ці властивості будемо доводити, користуючись означеннями визначника третього порядку.

1.Значення визначника не змінюється, якщо всі його рядки замінити його стовпцями, причому кожний рядок замінити стовпцем із тим самим номером,тобто

;

Для доведення цієї властивості досить застосувати правило трикутника до лівої та правої частини рівності і порівняти одержані результати.

Властивість 1 означає рівноправність рядків і стовпців визначника; тому всі наступні властивості визначника, властиві його рядка та стовпцям, достатньо сформулювати і довести або тільки для рядків, або тільки для стовпців.

2.Перестановка двох рядків визначника рівносильна множенню його на -1.

3.Якщо визначник має два однакових рядки, то він дорівнює нулю.

Справді, якщо однакові рядки поміняти місцями, то, з одного боку, значення визначника не зміниться (властивість 1), а з іншого – знак йог о значення зміниться на протилежний (властивість).Отже, для значення det визначника маємо det=-det, тобто 2det=0, звідки det=0.

4.Якщо всі елементи якого-небуть рядка визначника містять спільний множник,

то його можна винести за знак визначника.

Для доведення цієї властивості досить зазначити, що визначник подається у вигляді суми, кожний член якої містить один елемент із кожного рядка.

5.Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю, то й сам визначник дорівнює нулю.

Ця властивість є частинним випадком попередньої.

6.Якщо відповідні елементи двох рядків визначника пропорційні, то визначник

дорівнює нулю.

Справді, винісши спільний множник пропорційності за знак визначника, дістанемо визначник з двома однаковими рядками, який за властивістю 3 дорівнює нулю.

7.Якщо кожний елемент деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то

визначник може бути зображений у вигляді суми двох визначників, у яких один

у згаданому рядку має перші з заданих доданків, а інший – другі; елементи, що

знаходяться на решті місць, у всіх трьох визначниках одній й ті самі. Для доведення цієї властивості досить застосувати правило трикутника до всіх записаних тут визначників і порівняти одержані результати.

8.Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи