Обчислення визначника методом Гауса, Детальна інформація

іншого рядка, помножені на довільний спільний множник, то значення визначника при цьому не зміниться.

Ця властивість є наслідком властивостей 6 і 7.

Визначники довільного порядку.

:

O

v

AE

містять

по одному елементу з її кожного рядка і кожного стовпця. У кожного з цих добутків співмножники розміщено в порядку зростання першого індекси утворюють різноманітні перестановки з чисел 1,2,3.

Нехай j=(j1,j2,j3) – перестановка, де j1 ,j2 ,j3 – числа 1,2,3, розміщені в певному порядку.

Інверсією в перестановці j називають той факт, що більше число передує меншому. Число інверсій у перестановці j позначимо символом а(j).Перестановка

називається парною, якщо а(j) – парне число, і непарною - у протилежному випадку. Наприклад, перестановка (2,3,1) – парна, оскільки а(2,1,3)=1.

Неважко помітити, що до правої частини формули зі знаком „плюс» входять ті добутки, в яких другі індекси елементів матриці утворюють парну перестановку,

і зі знаком „мінус добутки, в яких другі індекси елементів матриці утворюють

непарну перестановку. Це дає можливість дати ще таке означення визначника

третього порядку : визначником третього порядку, що відповідає матриці, називається число, яке визначається рівністю

.

де підсумовування поширюється на всі можливості перестановки j=(j1,j2,j3) других індексів. Це означення легко узагальнюється на випадок квадратної матриці

.

довільного порядку n(n є N).

Визначником n–го порядку, що відповідає матриці називається число, яке визначається рівністю



де підсумовування поширюється на можливі перестановки j=(j1,j2…jn) других індексів.

Зазначимо без доведення, що розглянуті вище властивості 1–8 визначників другого та третього порядків справджується для визначників довільного порядку.

Використання цих властивостей дає змогу замінити обчислення визначників високих порядків за формулою на простіше.

n) матриці називається визначник, який відповідає матриці, утвореній з матриці викреслюванням і – го рядка та k – го стовпця.

n) матриці називається відповідний мінор, взятий зі знаком „плюс”, якщо сума його індексів парна, і зі знаком „мінус”, якщо сума його індексів непарна :

Аik =( -1)i+kМik.

Теорема 3.1. Значення det(A) визначника, що визначає матрицю, дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка або довільного стовпця на відповідні алгебричні доповнення :

det(A)=ai1Ai1+ai2Ai2 +…+ainAin(i=1, 2,…,n);