Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку енергетичної зонноїструктури монокристалів CdJ2, Детальна інформація

V(q) = 4(/V ( r2.{-Zve2/r) ( Ci.erf[(i1/2.r]+(Ali+r2.Ali+3).exp(-(li.r2)j0(qr)}d3r. (10)

0 i=1

Форм-фактор нелокальної частини псевдопотенціалу (перші два доданки 4) може бути визначений із:

(Ail + r2.Ail+3).

exp(-(il.r2) - (A(0)l + r2.A(0)l+3).exp(-((0)l r2).Pl}.exp[-i(k + Gj).r]. (11)

Проекційний оператор l-ої компоненти моменту має вигляд:

Ylm((i,().Y*lm((‘i,(‘), (12)

де Ylm((i,() – сферичні гармонічні. За визначенням, дія проекційного оператора на довільну функцію виражається так:

Ylm((i,().{( d('.sin('.d('.Y*lm((‘,(‘).exp(ikr)}, (13)

де (, (', (, (' – полярний і азимутальний кути векторів k i r. Використовуючи (13), рівняння (11) можна записати:

l ( 2( (

< k + Gi|Vqie (r, r’)| k + Gj > = V-1 ( ( r2dr ( d( ( sin( d((

m=-l 0 0 0

3

exp[-i(k + Gi).r].Ylm((,(){( (Ail + r2.Ail+3).exp(-(il.r2) - (A(0)l + r2.A(0)l+3).

l=1

2( (

exp(-(0)l r2)}.( d(' ( sin('d( Y*lm((‘,(‘).exp[i(k + Gj).r] (11a)

0 0

Враховуючи умову ортонормованості сферичних функцій:

2( 2(

(d( ( sin(.d(. Ylm((, ().Y*l'm'((, () = (ll' .(mm',

0 0

а також теорему додавання сферичних гармонік:

l

( Ylm((, ().Y*lm((, () = [-(2l+1)/4(].Pl(cos(Gi^Gj),

m=-l

одержимо:

(2l+1).Pl(cos(Gi^Gj).Tl, (14)

де