Комплексні Числа, Детальна інформація

Отже, z\x2081- z\x2082= z\x2083, якщо z\x2083 + z\x2082= z\x2081. можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.

Доведемо, що для будь – яких комплексних чисел z\x2081= a + b\x03AF і z\x2082 = c + d\x03AF різниця z\x2081- z\x2082 визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z\x2083= x+y\x03AF, яке в сумі з z\x2082 дає z\x2081.

За означенням дії віднімання, (c + d\x03AF) + (x+y\x03AF) = a + b\x03AF. виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:

(c + x) + (d + y)\x03AF = a + b\x03AF (1).

З умови рівності двох комплексних чисел маємо:

c + x = a

d + y = b

Ця система має розвиток, і до того ж єдиний: x = a - c, y = b – d. Отже, існує , і до того ж єдина, пара дійсних чисел (x, y), яка задовільняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:

(a + b\x03AF) – (c + d\x03AF) = (a - c) + (b – d)\x03AF

Приклади: Виконати віднімання комплексних чисел.

(3+4\x03AF) – (1+2\x03AF) = (3-1) + (4-2)\x03AF = 2 + 2\x03AF;

(-5+2\x03AF) – (2+\x03AF) = (-5-2) + (2-1)\x03AF = -7+\x03AF;

(6+7\x03AF) – (6-5\x03AF) = (6-6) + (7+5)\x03AF = 12\x03AF;

(0,3+2,5\x03AF) – (-0,75+1,5\x03AF) = (0,3+0,75\x03AF) + (2,5-1,5\x03AF) = 1,05+\x03AF;

((2-2\x03AF) – ((2+3\x03AF) = ((2-(2) + (-2-3)\x03AF = -5\x03AF;

1+1/2) – (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.

в) Множення комплексних чисел.

Означення. Добутком двох комплексних чисел a + b\x03AF і c + d\x03AF називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)\x03AF . Суть і доцільність цьго означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме (a + b\x03AF)( c + d\x03AF) = ac + ad\x03AF + bc\x03AF + bd\x03AF\x00B2 = ac + (ad + bc)\x03AF + bd\x03AF\x00B2. Замінюючи, за означенням, \x03AF\x00B2на –1, дістанемо: bd\x03AF\x00B2 = -bd . Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:

(a + b\x03AF)( c + d\x03AF) = (ac - bd) + (ad + bc)\x03AF (2)

Формулу (2) не слід намагатися механічно запам’ятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + b\x03AF і c + d\x03AF з наступною заміною \x03AF\x00B2на –1.

Приклади: Виконити множення комплексних чисел.

1) (4-5\x03AF)(3+2\x03AF) = 12+8\x03AF -15\x03AF -10\x03AF\x00B2= 12+10-7\x03AF =22-7\x03AF;

2)((3-\x03AF)((2+(5\x03AF) = (6-(2\x03AF+(15\x03AF-(5 \x03AF\x00B2= ((6+(5) + ((15-(2)\x03AF;

3)8\x03AFх3\x03AFх(3 = -24(3;

4)(2-\x03AF)(-5) = -10+5\x03AF;

5)(-4-3\x03AF)(-6\x03AF) = -18+24\x03AF.

Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному і сполучному.

Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: (a + b\x03AF)( a - b\x03AF) = a\x00B2 - (b\x03AF)\x00B2 = a\x00B2 -b\x00B2\x03AF\x00B2 = a\x00B2 + b\x00B2, тобто (a + b\x03AF)( a - b\x03AF) = a\x00B2 + b\x00B2.

Приклади: Обчислити добуток.

(3+5\x03AF)(3-5\x03AF) = 9+25 = 34;