Комплексні Числа, Детальна інформація

(2+\x03AF)(2-\x03AF) = 4+1 = 5;

(4+(3\x03AF)(4-(3\x03AF) = 16+3 = 19;

((х+(у\x03AF)( (х-(у\x03AF) = х+у;

(3/4+2/5\x03AF)(3/4-2/5\x03AF) = 9/16+4/25 = 289/400.

Читаючи рівність (a + b\x03AF)( a - b\x03AF) = a\x00B2 + b\x00B2 справа наліво, робимо висновок, що сумму квадратів будь – яких двох чисел можна подати у вигляді добутку комплексно – спряжених множників.

Приклади: Розкласти на множники двочлени.

а+9 = (а+3\x03AF)(а-3\x03AF);

16m\x00B2+25n\x00B2 = (4m+5n\x03AF)(4m-5n\x03AF);

49+36 = (7+6\x03AF)(7-6\x03AF);

а+16 = ((а+4\x03AF)( (а-4\x03AF);

в+7 = ((в+(7\x03AF)( (в-(7\x03AF).

г) Ділення комплексних чисел.

Ділення комплексних чисел означають як дію, обернену до дії множення, коли за даним добутком і одним з множників знаходять другий, невідомий множник. Причому в множині комплексних чисел залишається вимога, щоб дільник був відмінним від нуля.

Означення. Часткою комплексних чисел z\x2081 = a + b\x03AF та z\x2082 = c + d\x03AF називеється таке комплексне число z\x2083= x+y\x03AF, яке при множенні на z\x2082 дає z\x2081.

Можливість ділення комплексних чисел і його однозначність потребує доведення.

Доведемо, що частка комплексних чисел z\x2081 = a + b\x03AF та z\x2082 = c + d\x03AF визначена і до того ж однозначно, якщо c + d\x03AF\x2260 0+0\x03AF. Отже, доведемо, що за умови існує, і до того ж єдине, комплексне число z\x2083= x+y\x03AF, яке при множенні на z\x2082 дає z\x2081. За означенням дії ділення, (c + d\x03AF)( x+y\x03AF) = a + b\x03AF. Виконавши в лівій частині цієї рівності дію множення, дістанемо: (c x - dy) + (cy +d x)\x03AF = a + b\x03AF.

З умови рівності двох комплексних чисел випливає:

c x - dy= a

cy +d x=b

Система має єдиний розв’язок:

x= (a c +bd)\( c\x00B2+d\x00B2);

y = (bc- ad)\( c\x00B2+d\x00B2).

Із доведення випливає, що ділення ккомплексних чисел відбувається за таким правилом:

(a + b\x03AF)\( c + d\x03AF) = (a c +bd)\( c\x00B2+d\x00B2) + (bc- ad)\x03AF\( c\x00B2+d\x00B2).

Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це:

(a + b\x03AF)\( c + d\x03AF) = (a + b\x03AF)( c - d\x03AF)\( c + d\x03AF)( c - d\x03AF) = ((a c +bd) + (bc- ad)\x03AF )\( c\x00B2+d\x00B2) = (a c +bd)\( c\x00B2+d\x00B2 ) + ((bc- ad)\x03AF)\( c\x00B2+d\x00B2).

Цим принципом користуються під час розв’язування вправ на ділення комплексних чисел.

Приклади. Знайти частку комплексних чисел.

а) (2+5\x03AF)/(3-2\x03AF) = (2+5\x03AF)(3+2\x03AF)/(3-2\x03AF)(3+2\x03AF) = (-4+19\x03AF)/13 = -4/13+19\x03AF/13;

б) (3+\x03AF)/\x03AF = (3+\x03AF)(-\x03AF)/\x03AF = 1-3\x03AF;