Комплексні Числа, Детальна інформація

д) піднесення комплексних чисел до степеня.

За означенням, \x03AF\x00B9 = \x03AF, \x03AF\x00B2= - 1.

Користуючись рівністю \x03AF\x00B2= - 1, визначеко кілька послідовних ступенів уявної одиниці:

\x03AF\x00B3 =\x03AF\x00B2\x03AF= - 1\x03AF= -\x03AF; \x03AF = \x03AF\x00B3\x03AF = -\x03AF\x03AF= 1; \x03AF=\x03AF\x03AF=\x03AF; \x03AF=\x03AF\x03AF=-1; \x03AF=\x03AF\x03AF=-\x03AF; \x03AF=-\x03AF\x03AF=1.

Оскільки \x03AF=1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, \x03AF\x00B2= \x03AF =-1, \x03AF\x00B3=\x03AF =-\x03AF, \x03AF =\x03AF = 1і так далі.

Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник сепеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклади. Піднести до степеня:

а) \x03AF = \x03AF =\x03AF = \x03AF\x03AF =-\x03AF ;

б) \x03AF = \x03AF = \x03AF = \x03AF\x00B2= -1;

в) \x03AF =\x03AF = \x03AF = -\x03AF.

Правила піднесення до степеня уявної одиниці застосовується при піднесенні до степеня комплексних чисел.

Приклади. Піднести до степеня двочлени:

(2+5\x03AF)\x00B2 = 4+20\x03AF +25\x03AF\x00B2 = -21+20\x03AF;

(3+2)\x00B3 = 27+54\x03AF +36\x03AF\x00B2+8 = -9+36\x03AF;

(1+\x03AF)\x00B2 = 1+2\x03AF + \x03AF\x00B2= 2\x03AF;

(1-\x03AF) \x00B2 = 1-2\x03AF + \x03AF\x00B2= -2\x03AF;

(1-\x03AF) = (1-2\x03AF +\x03AF) \x00B2 = (-2\x03AF) \x00B2 = 4\x03AF\x00B2 = -4;

(1+\x03AF) = ((1+\x03AF)\x00B2)\x00B3 = (2\x03AF) \x00B3 = 8\x03AF\x00B3 = -8 \x03AF;

(1-\x03AF) = ((1-\x03AF) \x00B2) = (-2\x03AF) = -32\x03AF = -32\x03AF.

Рівності(1+\x03AF)\x00B2 = 1+2\x03AF + \x03AF\x00B2= 2\x03AF, (1-\x03AF) \x00B2 = 1-2\x03AF + \x03AF\x00B2= -2\x03AF корисно запам’ятати, бо їх часто використовують.

3. Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Вивчаючи комплексні числа, можна використовувати геометричну термінологію і геометричні міркування, яякщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу a + b\x03AF поставимо у відповідність точку М(a;b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявной частини. Кожній точці М(a;b) координатної площини поставимо у відповідність комплексне число (малюнок 1).

Малюнок 1

Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вібрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам a + 0\x03AF, тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називають уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам 0+ b\x03AF.

Зручною є також інтерпритація комплексного числа як вектора ОМ (дивіться малюнок 2)

Малюнок 2

Поставимо у відповідність кожному комплексному числу вектор з початком у точці О(0;0) і кінцем у точці М(a;b). Ви знаєте, що такий вектор називають радіус – вектором, а його проекції на осі є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометрични зображенням комплексного числа z = a + b\x03AF є радіус – вектор з координатами a і b. Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати векторами аьо точками і говорити, наприклад, про вектор a + b\x03AF або про точку a + b\x03AF.

На малюнку 2 вектори ОА, OB, OC, OD є відповідними геометричними зображеннями комплексних чисел z\x2081= 2+2\x03AF; z \x2082= -3+4\x03AF; z \x2083= -4-3\x03AF; z \x2084= 4-2\x03AF.

Протилежним комплексним числам відповідають протилежні вектори.

Малюнок 3