Поняття про ряд Тейлора, Детальна інформація

називається рядом Тейлора функції f(x). Отже, доведено таку теорему.

Теорема 1. Якщо функцію f(x) в інтервалі (х0-R;x0+R) можна розкласти в степеневий ряд, то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції.

Нехай тепер f(x) – довільна нескінчене число разів диференційована функція. Складемо для неї ряд (2). Виявляється, що сума ряду (2) не завжди збігається з функцією f(x). Інакше кажучи, ряд (2) формально складено. Встановимо умови, за яких сума ряду (2) збігається з функцією f(x).

Теорема 2. Для того щоб ряд Тейлора (2) збігався до функції f(x) в інтервалі (х0-R;x0+R), тобто



для всіх х з цього інтервалу:

(3)

Відомо, що для функції, яка має похідні всіх порядків, справедлива формула Тейлора

(4)

де

(5)

- залишковий член формули Тейлора у формулі Лонгранжа.

Якщо позначити n –у частину суму ряду (2) через Sn(x), то формула (4) матиме вигляд

(6)

Нехай f(x) - сума ряду, тобто



.

j:

j)

j°

>

8

:

`

b

d

f

’

\x0161

\x0153