Поняття про ряд Тейлора, Детальна інформація

ae

\x00F0

j\x00B4

&

(

2

<

>

V

8

t

(х0-R;x0+R).

Безпосередня перевірка цих умов нерідко виявляється непростою задачею. Доведемо теорему, яка дає досить прості достатні умови розкладання функції в ряд Тейлора.

Теорема 3. Якщо функція f(x) в інтервалі (х0-R;x0+R) має похідні всіх порядків та існує число М>0 таке, що

(7)

, то функцію f(x) можна розкласти в ряд Тейлора.

Відповідно до теореми 2 досить перевірити умову (3). В силу нерівностей (7) залишковий член формули Тейлора (3) задовольняє нерівність (7)

(8)

Побудуємо степеневий ряд

. (9)

оскільки



то за ознакою Д’Амламбера ряд (9) збіжний на всій числовій осі.

Для збіжного ряду



тоді з нерівностей (8) знаходимо



Вправи для самостійного розв’язання

Знайти суми таких рядів: