Площина, Детальна інформація

Реферат з математики на тему:

ПлощинаЗагальне рівняння площини та його дослідження

Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є площина. Для цього доведемо такі теореми.

Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі координат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.

, перпендикулярного до цієї площини, і точки M0 (x0, y0, z0), Через яку проходить дана площина (рис.1).

Тоді:

то скалярний добуток можна записати у вигляді

А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0,

або

Ах + By + Cz - (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0. (1)

Позначивши

- (AX0 + Ву0 + Cz0) = D

дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:

Ах + By + Cz + D = О, (2)

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних координатах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить

= (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему.

Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня

Ax + By + Cz + D = 0, (3)

де А, В, С і D - довільні дійсні числа; х, у, z - поточні координата, визначає в декартовій прямокутній системі координат площину.

Доведення. Доберемо трійку чисел (х0, y0, z0), які задовольняють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х0 і у0 візьмемо довільно, а третє z0 знайдемо з рівняння (3). Тоді

Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0. (4)

Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо

А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (5)

= (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0).

Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рівняння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.

Рівняння

(6)

векторне рівняння площини запишемо у вигляді:

Якщо у загальному рівнянні площини покласти z - z0 = 0, то дістанемо рівняння