Числові та степеневі ряди, Детальна інформація

ae

ae

e

e

\x00F0

th

\x0A00&\x460B

розбігається.

Приклади.

розбігається.

є абсолютно збіжним.

2. Степеневі ряди

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…

Приклади.

1. Степеневий ряд 1+x+x2+…+xn+… Тут усі cn=1.

2. Степеневий ряд 1-2x+3x2-4x3+5x4-… Тут cn = (-1)n((n+1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших – розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|
Приклад.

Знайти область збіжності степеневого ряду



.

. Отже, радіус збіжності нашого степеневого ряду R=2. При –22 та x<-2 цей ряд розбігається. Випадки x=2 та x=-2 потрібно досліджувати окремо.

Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати.

Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад функцій у ряди.

Теорема. Нехай у деякому околі точки x0 функція f(x) є (n+1) разів диференційовною. Тоді в цьому околі функція f(x) розкладається в такий ряд



, (9.2)

де точка ( належить околу точки x0 .

Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)–а похідна f(n+1)(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при x(x0. Отже,