Числові та степеневі ряди, Детальна інформація

.

При x0=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена

(9.3)

Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними, можна розкладасти в степеневі ряди.

Приклади.

Розкласти в степеневий ряд функцію f(x)=ex.

Маємо f(x)=f((x) =f((x) =…=f(n)(x) =…=ex . Далі f(0)=f((0)=f((0)=…

…=f(n)(0) =…=e0=1. Отже,





) ряд збігається при будь-якому значенні x.

Оскільки (sinx)(=cosx, (sinx)(=-sinx, (sinx)((=-cosx, (sinx)IV=sinx, то

…=





і далі ln(1 = 1, ln(1 = -1!, ln((1 = 2!,



Радіус збіжності визначаємо відповідно до ознаки Д’Аламбера:

, звідки умова |x|<1. Отже, R=1.

Формула Тейлора справджується і для функцій від багатьох змінних. Зокрема, для функції від двох змінних f(x,y) в околі точки (0;0):



(9.4)