Частинні похідні. Повний диференціал, Детальна інформація

Реферат на тему:

Частинні похідні. Повний диференціал

Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y – приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають повним приростом функції f(x,y) .

Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо

.

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції від n (n>2) змінних.

Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y) називаються частинними приростами функції f(x,y) .

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя

(6.1)

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно.

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення :

;

.

задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

Приклади





2. Нехай Q=K0.6(L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні





(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці).

3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.6(L0.4 .





(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу, так і затрат праці).

4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :



Теорема: Якщо функція z = f(x,y) та її похідні z(x , z(y , z((xy і z((yx неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то z((xy = z((yx .

Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму її частинних диференціалів :

(6.2)