Дослідження функцій за допомогою похідних, Детальна інформація

Знаходимо похідну y( =3x2 – 12x +9.

Розв’язуємо рівняння 3x2 – 12x +9=0 , звідки x1=1; x2=3.

Досліджуємо знаки першої похідної

Інтервал (-\x221E; 1) 1 (1; 3) 3 (3; +\x221E)

Знак f((x) + 0 - 0 +

Поведінка y=f(x) Зростає Максимум Спадає Мінімум Зростає



Точки x1=1 та x2=3 можна також дослідити згідно з другою достатньою умовою екстремуму:

y((x) = 6x – 12;

y((1) = - 6 < 0, отже, в точці x=1 функція y = x3 – 6x2 +9x досягає максимуму;

y((3) = 6 > 0, отже, в точці x=3 ця функція має мінімум.

Означення. Функція f(x) називається випуклою (випуклою вверх) на відрізку [a;b] , якщо на цьому інтервалі її графік розташований нижче від її дотичної (рис. 5.3,а). Функція f(x) називається увігнутою (випуклою вниз), якщо на [a;b] цей графік розташований нижче від дотичної (рис. 5.3,б).

y y

a b a b

а x б x

Рис. 5.3.

b

d

\x0161

b

d

-

2

4

6

„

†

\x02C6

\x0160

\x0152