Дослідження функцій за допомогою похідних, Детальна інформація

\x017D

\x0161

\x00A8

a

a

ae

ae

u

ue

th

O

B>0, то функція y=f(x) є увігнутою на [a;b] . Якщо f((x)<0 , то функція y=f(x) випукла на інтервалі [a;b] .

Означення. Точка x0, у якій функція y=f(x) змінює увігнутість на опуклість (або навпаки), називається точкою перегину функції y=f(x) (рис. 5.4).

Теорема (достатня ознака існування точки перегину). Якщо в точці x0 існує перша похідна f((x) і f((x)=0 , причому друга похідна f((x) змінює знак, то точка x0 є точкою перегину функції y=f(x) (рис. 5.4).

y

x0 x

Рис. 5.4.

Приклад. Знайти інтервали випуклості та увігнутості функції y = x3 - 6x2 + 9x .

Друга похідна y((x)=6x-12 дорівнює нулю в точці x=2. Тому визначимо знаки цієї другої похідної на інтервалах (-\x221E;2) та (2;\x221E).

Аргумент x (-\x221E;2) 2 (2;\x221E).

Друга похідна y((x) <0 0 >0

Функція y=f(x) Випуклість Перегин Увігнутість



Отже, функція y(x) є випуклою на інтервалі (-\x221E;2), у точці x=2 має перегин, а на інтервалі (2;\x221E) увігнута.

Приклад. Дослідити властивості логістичної кривої (рис. 4.12).

.

.

:

. Оскільки для всіх t вираз 0,5t є завжди додатним, то перша похідна y((x) ніколи не перетворюється в нуль, отже, логістична крива екстремумів не має.

Знайдемо другу похідну від y(t), тобто обчислимо