Лінійна алгебра. Визначники, Детальна інформація

Реферат на тему:

Лінійна алгебра. Визначники

Означення. Визначником (детермінантом) матриці другого порядку

.

Означення. Визначником (детермінантом) матриці третього порядку



Приклади:

;

.

Означення. Визначником квадратної матриці A розміру n*n називається число

(1.4)

Сума обчислюється за всіма перестановками (i1,…,in). Величина inv(i1,…,in) це кількість інверсій перестановки (i1,…,in), тобто кількість пар (ik,im) таких, що ik>im , проте ik розташоване лівіше від im .

Легко перевірити, що означення визначника другого та третього порядку задовольняє загальне означення.

Множина визначників задовольняє такі властивості:

У разі транспонування матриці значення визначника не змінюється:

.

У випадку перестановки двох довільних рядків (або двох довільних стовпців) знак визначника змінюється на протилежний:

.

Якщо всі елементи одного рядка (стовпця) матриці є пропорційними до елементів другого рядка (стовпця) цієї матриці, то її визначник дорівнює нулю:

, оскільки елементи третього рядка

є вдвічі більшими від елементів першого.

Якщо всі елементи рядка (стовпця) помножити на якесь число, то визначник теж помножиться на це ж число:

.

Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільне число, то значення визначника не зміниться:

.

викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.

є відповідно мінорами елементів a1, b1 та c1.

Означення. Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij називається його мінор, узятий зі знаком (+) або (-) так:

якщо сума (i+j) номерів рядка i та стовпця j є парною, то потрібно взяти знак (+), якщо ж ця сума непарна – то знак (-).

Для визначника довільного порядку виконується така