Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення, Детальна інформація

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що

D ={(b,a) | (a,b)(C}. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.

Якщо задано відповідності C(A(B і D(B(F, то композицією відповідностей C і D (позначається C(D ) називається відповідність H між множинами A і F така, що H = { (a,b)| існує елемент c(B такий, що (a,c)(C і (c,b)(D }.

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.

B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= R(R або функціями типу R ( R.

B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.

Відображення типу A ( A називають перетвореннями множини A.

Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента a(Pr1f позначають через f(a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента b(Pr2f позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f:A(B функція з множини A в множину B, а g:B(C - функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається f(g, називається функція h:A(C така, що h(a) = g(f(a)) для a(Pr1f(A і f(a)(Pr1g(B.

Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.

Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента b(Pr2f його прообраз f-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.

Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним, називається бієктивним відображенням або бієкцією.

Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.

Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли вона функцiональна, всюди визначена, сюр’єктивна та iн’єктивна.

Вiдповiднiсть iA = { (a,a) | a(A } називається тотожним перетворенням, дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.

Наведемо приклади відповідностей, відображень та функцій.

Приклад 1.11. 1. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки не всі поля шахівниці зайняті фігурами.

2. Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового запису є відображенням. Це відображення не є ін’єктивним, оскільки йому належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26,8).

3. Відповідність, за якою кожному натуральному числу n(N відповідає число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.

4. Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною всіх векторів із початком у точці (0,0) є взаємно однозначною.

1

2

3

4

5

a

b

c