Відношення. Властивості відношень, Детальна інформація
Відношення. Властивості відношень
Реферат на тему:
Відношення. Властивості відношень
Підмножина R декартового степеня Mn деякої множини M називається n-місним або n-арним відношенням на множині M. Кажуть, що елементи a1,a2,...,an(M знаходяться у відношенні R, якщо (a1,a2,...,an)(R.
При n=1 відношення R(M називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a( M має ознаку R, якщо a(R і R(M. Наприклад, ознаки "непарність" і "кратність 7" виділяють із множини N натуральних чисел унарні відношення R( = {2k-1 | k(N } і R(( = {7k | k(N }, відповідно.
Найбільш популярними в математиці є двомісні або бінарні відношення, на вивченні властивостей яких ми зупинимось детальніше. Далі скрізь під словом "відношення" розумітимемо бінарне відношення. Якщо елементи a,b(M знаходяться у відношенні R (тобто (a,b)(R), то це часто записують у вигляді aRb. Зауважимо, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме - як відповідності між однаковими множинами.
Приклад 1.13. Наведемо приклади бінарних відношень на різних множинах.
1. Відношення на множині N натуральних чисел:
R1 - відношення "менше або дорівнює", тоді 4R19, 5R15, 1R1m для будь-якого m(N ;
R2 - відношення "ділиться на", тоді 4R23, 49R27, mR21 для будь-якого m(N ;
R3 - відношення "є взаємно простими", тоді 15R38, 366R3121, 1001R3612;
R4 - відношення "складаються з однакових цифр", тоді 127R4721, 230R 4 302, 3231R 43213311.
2. Відношення на множині точок координатної площини R2:
), (0,0)R 5 (0,0) ;
R6 - відношення "симетричні відносно осі ординат", тоді (1,7)R6(-1,7) і взагалі (a,b)R6(-a,b) для будь-яких a,b(R ;
R7 - відношення "менше або дорівнює". Вважаємо, що (a,b)R7(c,d), якщо a ( c і b ( d. Зокрема, (1,7)R7(20,14), (-12,4)R7(0,17).
3. Відношення на множині студентів даного вузу:
R8 - відношення "є однокурсником",
R9 - відношення "є молодшим за віком від".
Для задання відношень можна користуватись тими ж способами, що і при заданні множин. Наприклад, якщо множина M скінченна, то довільне відношення R на M можна задати списком пар елементів, які знаходяться у відношенні R.
Зручним способом задання бінарного відношення R на скінченній множині M = {a1,a2,...,an} є задання за допомогою так званої матриці бінарного відношення. Це квадратна матриця C порядку n, в якій елемент cij, що стоїть на перетині i-го рядка і j-го стовпчика, визначається так
( 1, якщо aiRaj,
cij = (
( 0, в противному разі.
Приклад 1.14. Для скінченної множини M = {2,7,36,63,180} матриці наведених вище відношень R1, R2, R3 мають такий вигляд
Рис.1.5.
6
8
b
d
Відношення. Властивості відношень
Підмножина R декартового степеня Mn деякої множини M називається n-місним або n-арним відношенням на множині M. Кажуть, що елементи a1,a2,...,an(M знаходяться у відношенні R, якщо (a1,a2,...,an)(R.
При n=1 відношення R(M називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a( M має ознаку R, якщо a(R і R(M. Наприклад, ознаки "непарність" і "кратність 7" виділяють із множини N натуральних чисел унарні відношення R( = {2k-1 | k(N } і R(( = {7k | k(N }, відповідно.
Найбільш популярними в математиці є двомісні або бінарні відношення, на вивченні властивостей яких ми зупинимось детальніше. Далі скрізь під словом "відношення" розумітимемо бінарне відношення. Якщо елементи a,b(M знаходяться у відношенні R (тобто (a,b)(R), то це часто записують у вигляді aRb. Зауважимо, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме - як відповідності між однаковими множинами.
Приклад 1.13. Наведемо приклади бінарних відношень на різних множинах.
1. Відношення на множині N натуральних чисел:
R1 - відношення "менше або дорівнює", тоді 4R19, 5R15, 1R1m для будь-якого m(N ;
R2 - відношення "ділиться на", тоді 4R23, 49R27, mR21 для будь-якого m(N ;
R3 - відношення "є взаємно простими", тоді 15R38, 366R3121, 1001R3612;
R4 - відношення "складаються з однакових цифр", тоді 127R4721, 230R 4 302, 3231R 43213311.
2. Відношення на множині точок координатної площини R2:
), (0,0)R 5 (0,0) ;
R6 - відношення "симетричні відносно осі ординат", тоді (1,7)R6(-1,7) і взагалі (a,b)R6(-a,b) для будь-яких a,b(R ;
R7 - відношення "менше або дорівнює". Вважаємо, що (a,b)R7(c,d), якщо a ( c і b ( d. Зокрема, (1,7)R7(20,14), (-12,4)R7(0,17).
3. Відношення на множині студентів даного вузу:
R8 - відношення "є однокурсником",
R9 - відношення "є молодшим за віком від".
Для задання відношень можна користуватись тими ж способами, що і при заданні множин. Наприклад, якщо множина M скінченна, то довільне відношення R на M можна задати списком пар елементів, які знаходяться у відношенні R.
Зручним способом задання бінарного відношення R на скінченній множині M = {a1,a2,...,an} є задання за допомогою так званої матриці бінарного відношення. Це квадратна матриця C порядку n, в якій елемент cij, що стоїть на перетині i-го рядка і j-го стовпчика, визначається так
( 1, якщо aiRaj,
cij = (
( 0, в противному разі.
Приклад 1.14. Для скінченної множини M = {2,7,36,63,180} матриці наведених вище відношень R1, R2, R3 мають такий вигляд
Рис.1.5.
6
8
b
d
The online video editor trusted by teams to make professional video in
minutes
© Referats, Inc · All rights reserved 2021