ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ, Детальна інформація

Коломийський коледж права і бізнесу

Р Е Ф Е Р А Т

на тему:

“ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ”

Виконав

Кушмелюк Федір М.

Перевірив:

Чоботар О.В.

Коломия

2002

План

Границя числової послідовності.

Нескінченно малі числові послідовності.

Нескінченно великі числові послідовності.

Основні теореми про границі.

Границя функції неперервного аргументу.

1. Границя числової послідовності.

У курсі «Алгебра і початки аналізу» вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарними способами. В основі методів, за допомогою яких удається дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.

З'ясуємо поняття границі на простішому випадку функціональної залежності, коли областю визначення функції у = f (х) є множина натурального ряду чисел N. Таку функцію називають числовою послідовністю і позначають yn = f(n), п = 1, 2, ... .

Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y1, 2, ..., ул,…, в якому y1 називають першим членом послідовності, y2 — другим і т. д., yn — n-м, або загальним членом послідовності. Числову послідовність вважають заданою, якщо задано її загальний член.

Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (уп) або (ап), де уп, ап — n-ні члени послідовностей.

Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: уп= y1 + d (п - 1), уп = у1qn-1, п = 1, 2, ..., де d — різниця арифметичної прогресії; q — знаменник геометричної прогресії.

Розглянемо ще приклади числових послідовностей.

, п = 1, 2, ... .

Дістанемо таку числову послідовність:

(2)

У послідовності (2) члени із зростанням числа п спадають і наближаються до числа нуль. І чим більше число n, тим відповідний член послідовності містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |уп — 0| при зростанні n стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) знайдеться член yN такий, що для всіх п > N буде справджуватися нерівність

(3)

— довільне додатне число. Надаючи є довільних додатних значень, щоразу матимемо шукане число N.

, підставимо в нерівність (3) значення уп і розв'яжемо здобуту нерівність відносно п. Дістанемо: