Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матриць, Детальна інформація
Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матриць
Доведення теореми для 2х2 матриць.
.
.
Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:
.
Це квадратне рівніння з дискримінантом:
І тому
Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=(1.
, що відповідає власному значенню (1 з рівності
Тоді
Враховуючи, що
перепишемо систему у вигляді:
і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.
,тому що поклавши отримаємо x1>0.
,
, бо cb>0.
Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.
Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.
Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо
.
.
Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:
.
Це квадратне рівніння з дискримінантом:
І тому
Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=(1.
, що відповідає власному значенню (1 з рівності
Тоді
Враховуючи, що
перепишемо систему у вигляді:
і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.
,тому що поклавши отримаємо x1>0.
,
, бо cb>0.
Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.
Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.
Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо
The online video editor trusted by teams to make professional video in
minutes
© Referats, Inc · All rights reserved 2021