Похідна та її застосування, Детальна інформація

отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).

Відповідь: А(2;2).

Розділ 2

Застосування похідної

2.1. Правила диференціювання

Теорема: Якщо функції u(x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

(u(x)((x))’ = u’(x)((’(x)



для любого х є (a; b). Коротше,

(u(()’ = u((’

Доведення: Суму функцій u(x)+((x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).





Так як

х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:



Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,







Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u(x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то



для любого х є (a; b). Коротше,



х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді