Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах, Детальна інформація

 її виразом (11.17), дістаємо



або в зручнішій формі

.                   (11.18)

 місцями, можна вивести й формулу:

.                    (11.19)

            З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами:

.

 буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:

.

Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:

).

.

 в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.

, на кілька правильних областей.

            За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл (11.19).

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл

,

обмежена лініями (рис. 11.7).

. Крива входу





                                       Рис.11.7

. За формулою (11.18) маємо:





.

). Тоді: