Послідовності випадкових величин. Граничні теореми, Детальна інформація

).

Це один з самих видатних результатів теорії ймовірностей: при широких припущеннях відносно суми великої кількості незалежних малих випадкових доданків має місце розподіл, який близький до нормального ( гаусівського).

Наслідок. Інтегральна гранична теорема Муавра- Лапласа.





Для доведення достатньо ввести випадкові величини

якщо в к-тому випробовуванні був успіх;

o, якщо в к-тому випрбовуванні була невдача.

і залишається застосувати попередню теорему.

).

появ події А змінюється в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробовувань.

- числа появ події А в100 незалежних випробовуваннях.

=25. Знайдемо максимальну різницю між

=60-50=10.

Скористаємося нерівністю Чебишова в формі

.

=10, одержимо



. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній

60

величині не більше чим на 0, 01, якщо буде проведено n=9000 випробувань ( Відповідь 0, 75 ).

n,… задана законом розподілу



.

Чи можна застосувати до заданної послідовності теорему Чебишева?

Розв’язок. Для того, щоб до заданої послідовності випадкових величин була застосована теорема Чебишова, достатньо, щоб ці величини були попарно незалежні, мали скінчене математичне сподівання та рівномірно обмежені дисперсії.

Оскільки випадкові величини незалежні, то вони і подавно незалежні, тобто перша вимога теореми Чебишова виконується.

Перевіримо чи виконується вимога скінченості математичних сподівань:



Таким чином, кожна випадкова величина має скінчене ( рівне нулю ) математичне сподівання , тобто друга умова теореми виконана.