Основні означення та факти з теорії визначників, Детальна інформація

Числа aіj називаються елементами визначника (. Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A.

Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,



Беремо з першого рядка елемент –5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число –3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)(5((-3)(6 є одним з добутків визначника (, оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З’ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j–й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях (1,3),(2,1),(3,2),(4,4). Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.

Аналітичний запис визначника.

Нехай

.

, де (1,(2,…,(n – деяка перестановка чисел 1,2,...,n. Позначимо через s((1,(2,…,(n) число інверсій в перестановці (1,(2,…,(n. Тоді

,

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,..., n.

Лема про знак.

Нехай

.

.

Друге означення визначника.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

.

Визначником n–го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак -.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника, за другим означенням знак при добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні співмножників за другим індексом.

Теорема..

Два означення визначника еквівалентні.

Користуючись другим означенням визначник ( матриці A можна записати аналітично так:

,



Визначники трикутного вигляду.

Нехай

.

У визначнику ( можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ утворюють елементи a11,a22,…,an-1,n-1,ann; побічну діагональ утворюють елементи a1n,a2,n-1,…,

an-1,2,an1.

Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.