Основні означення та факти з теорії визначників, Детальна інформація

Два рядки визначника називаються пропорційними, якщо один з них можна одержати помноженням другого на деяке число.

5. Якщо два рядки визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Нехай (bi1, bi2,…,bin) і (сi1, сi2,…,сin) – два рядки. Під сумою цих рядків розуміється рядок вигляду (bi1+сi1, bi2 +сi2,…,bin+сin).

6. Якщо у визначнику ( і-рядок є сумою двох рядків, то визначник ( можна розкласти в суму двох визначників (1 і (2 за і-м рядком таким чином, що і-рядком визначника (1 є перший доданок, а і-м рядком визначника (2 – другий доданок і-го рядка визначника (. Решта рядків визначників (1 і (2 співпадають з відповідними рядками визначника (.

Припустимо, що у визначнику ( і-й рядок є сумою двох рядків, тоді

.

Аналогічно, якщо і-й рядок визначника ( є сумою k рядків, то визначник ( можна розкласти в суму k визначників за і-м рядком.

7. Якщо до рядка визначника додати інший рядок, помножений на число, то визначник не змінюється.



8. Якщо у визначнику деякий рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

9. Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка (стовпчика).

Нехай

.

Доповнюючим мінором Mij елемента aij називається визначник порядку n-1, який одержується з визначника ( викресленням і-го рядка і j-го стовпчика. Тобто викреслюються рядок та стовпчик, в яких знаходиться елемент aij.

Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

Aij=(-1)і+jMіj

Теорема.

Визначник n–го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад, розкладемо визначник ( за елементами і-го рядка

( = ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.

Розкладемо визначник



за елементами 3-го рядка.

+

=

.

Наслідок 1. Визначник n–го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює нулю.

Визначник Вандермонда.