Основні означення та факти з теорії визначників, Детальна інформація

Наприклад,

.

Визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі

= a11a22…an-1,n-1ann.

Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю.

.

, де n – порядок визначника.

a1na2,n-1…an-1,2an1.

Транспонування матриці.

Нехай дана матриця A порядку m x n

.

Складемо нову матрицю B за такими правилами. Запишемо елементи першого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, до першого стовпчика матриці B. Далі елементи другого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, запишемо до другого стовпчика матриці B і т.д. Такий процес називається транспонуванням матриці A. В результаті одержимо матрицю B порядку n x m, яка називається транспонованою матрицею для матриці A і позначається AT.

.

Зрозуміло, що (AT)T = A.

Теорема..

Нехай A – квадратна матриця. Тоді визначники матриць AT і A рівні.

Таким чином, транспонування не змінює визначника матриці. Далі будемо вважати визначники взаємно транспонованих матриць тотожними.

Властивості визначників.

Зауваження. Будемо формулювати властивості визначників для рядків визначників. Але при цьому будемо враховувати, що вони вірні і для стовпчиків визначників.

1. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю (нульовий рядок), то визначник дорівнює нулю.

2. Якщо у визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Припустимо, що у визначнику ( міняються місцями і-й і j-й рядки (і(j), тоді

.

3. Якщо два рядки визначника співпадають, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо деякий рядок визначника помножується на число (, то визначник помножується на (.

Припустимо, що у визначнику



помножується на ( і-й рядок, тоді

= ((.

З цієї властивості випливає, що якщо всі елементи деякого рядка визначника помножені на деяке число (, то це число можна винести за знак визначника як множник.