Похідна, Детальна інформація

, то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

не існує;

і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.

в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.

Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію



визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:

.

Знайдемо нулі похідної:

х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.

Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2,х2=1.

.

Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.

Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.

.

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.

.

Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію



визначена. Знайдемо її похідну:

.

Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:

.

.

Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію

.

визначена і диференційована на R. Її похідна