Похідна, Детальна інформація

, диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для цього знайдемо похідну



і прирівняємо її до нуля:

х4+8х=0; х=0; х=-2.

.

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка

.

Отже,





1.5. Означення дотичної, піддотичної, нормалі

Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд:

,

де х і у – біжучі координати дотичної, f ‘(x0)=k – кутовий коефіцієнт дотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенс кута нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.



Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точки дотику і точкою перетину дотичної з віссю абсцис, називають під дотичною. Її довжина дорівнює |х0-х1|.

Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точці її дотику М до графіка функції у=f(x), називається нормаллю.

Рівняння нормалі записують у вигляді:



0(в противному разі рівняння нормалі х-х0=0).

На цей матеріал можна скласти ряд задач. Розглянемо деякі з них.

1. Дано абсцису точки дотику х0 графіка функції у=f(x), а необхідно записати рівняння дотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.

.

2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщо відома абсциса точки дотику х0?

.

Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x), тобто y’=f ‘(x), і обчислення її значення в точці х0.

,що мають спільну абсцису х0:



.

4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точки дотику якої дорівнює х0.