Похідна, Детальна інформація

добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;

добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.

Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.

Приклад 1. Побудувати графік функції



Розв’язання.

Область визначення функції f :

.

Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.

Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну



;

х=0–критична точка.

вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення

.

Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:



.

, а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

, то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:

.

Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.

.

Приклад 2. Побудувати графік функції:



Розв’язання.