Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі, Детальна інформація

1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є коло радіуса a з центром у точці О.

2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є круг з центром у точці О радіуса a.

3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є пряма l, яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.

4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є точка О – центр кола, описаного навколо трикутника АВС.

5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є дві прямі m i n, паралельні прямій l і віддалені від неї на відстань a.

6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є пряма c – вісь симетрії цих прямих, якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні прямі m i n – бісектриси вертикальних кутів, утворених при перетині даних прямих, якщо a x b = 0.

Зауваження.

- площини їх паралелелізму.

7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a,b,c, є: точка 0, якщо a x b x с = 0 ; дві точки M,N, якщо a||b, с перетинає їх (M,N – точки перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими); чотири точки K,L,M,N – центри вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або (, якщо прямі a,b,с паралельні. 1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є сфера радіуса a з центром у точці О.

2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є куля з центром у точці О радіуса a.

, яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.

трикутника АВС.

5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є кругова циліндрична поверхня радіуса a з віссю симетрії l.

6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є площина \xF062, якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні щини \xF061, \xF062, які проходять через бісектриси вертикальних кутів, утворених прямими a і b, якщо a x b = 0, або гіперболічний параболоїд, якщо a і b мимобіжні.

7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a,b,c, які лежать в одній площині \xF061\xF02C є: пряма m, яка проходить через точку 0 = a x b x с і перпендикулярна до площини \xF061\xF02C дві прямі m,n, які перпендикулярні до площини \xF061\xF020і проходять через точки M,N перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими; якщо a||b, с перетинає їх; чотири прямі k,l,m,n, перпендикулярні до площини \xF061\xF020\xF020в точках K,L,M,N – центрах вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або (, якщо прямі a,b,с паралельні.

Зауваження. Якщо три прямі не лежать в одній площині, то можливі випадки, які на площині не мають аналогів.

а) Прямі перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.

Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох прямих a, b, c, що перетинаються в одній точці і не належать одній площині, є чотири прямі, які проходять через цю точку.

по чотирьом прямим k, l, m i n, які проходять через точку перетину трьох даних прямих a, b, c. Ці чотири прямі є геометричним місцем точок, рівновіддалених від прямих а, b, c,які перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.

б) Прямі a, b, c паралельні між собою і не лежать в одній площині.

Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох паралельних прямих, які не лежать в одній площині, є пряма m, паралельна до даних.

Ця пряма спільна для трьох площин, які будуються як г.м.т.6 для пар прямих: a, c; b, c; a, b. Зрозуміло, для одержання прямої m нема необхідності будувати три площини, достатньо побудувати дві з них.

Природньо розглянути у просторі геометричні місця точок, віддалених на відстань a від даної площини, рівновіддалених від двох, від трьох даних площин.

8. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної площини \x03B1 на відстань a, є дві площини \x03B3 і \x03B2, паралельні до \x03B1 і віддалені від неї на відстань a.

Існують інші розташування прямих у просторі: дві прямі перетинаються, а третя мимобіжна до них; дві прямі паралельні, третя мимобіжна до них; всі три прямі попарно мимобіжні. В цих ипадках ГМТ, рівновіддалених від трьох прямих є перетином гіперболічних параболоїдів, утворених парами мимобіжних прямих.

9. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних площин \x03B1 і \x03B2, є площина \x03B6, якщо дані площини паралельні, або дві площини \x03B3, \x03B4, якщо дані площини перетинаються, причому:

- \x03B6 – площина, паралельна до площин \x03B1 та \x03B2 і ділить відстань між ними

навпіл.

- \x03B3, \x03B4 – перпендикулярні між собою бісекторні площини двогранних кутів, утворених площинами \x03B1 та \x03B2.

10. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох площин, є: пряма, або дві прямі, або чотири паралельні прямі, або чотири прямі, що перетинаються, або (: