Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність, Детальна інформація

< а1.

O

P

\x031B\x636A

\x0321\xCD6A

< а1.

+1, маємо:

+ а2к+1.

Отже,



Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:

(0 < S < a1),

коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.

Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:

, і має знак цього члена.

Доведення. Маємо:

,



Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому

,





, представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.

Диференціювання та інтегрування

степеневих рядів.

План.

1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23.

Диференціювання степеневих рядів.

Теорема. Якщо степеневий ряд