Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність, Детальна інформація
Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність
(1)
має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд
, (2)
.
, ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.
Для цього, досить виявити збіжність ряду
(3)
що відіграватиме роль мажоруючого ряду.
, маємо
,
. Застосуємо до ряду
(4)
ознаку Даламбера:
.
р’.
Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р.
Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд
,
, то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,
.
Теорему доведено.
Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f(k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.
Інтегрування степеневих рядів.
Теорема. Степеневий ряд
(5)
з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):
(6)
і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.
Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.
має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд
, (2)
.
, ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.
Для цього, досить виявити збіжність ряду
(3)
що відіграватиме роль мажоруючого ряду.
, маємо
,
. Застосуємо до ряду
(4)
ознаку Даламбера:
.
р’.
Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р.
Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд
,
, то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,
.
Теорему доведено.
Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f(k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.
Інтегрування степеневих рядів.
Теорема. Степеневий ряд
(5)
з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):
(6)
і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.
Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.
The online video editor trusted by teams to make professional video in
minutes
© Referats, Inc · All rights reserved 2021