Доведення теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку, Детальна інформація

Доведення теореми для 2х2 матриць.

.

.

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:



І тому



Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=(1.

, що відповідає власному значенню (1 з рівності



Тоді



Враховуючи, що



перепишемо систему у вигляді:



і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.



,тому що поклавши отримаємо x1>0.

,

, бо cb>0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.



Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.

Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо