Множини і відношення, Детальна інформація

Далі проводимо міркування аналогічні випадку скінченної сукупності множин. Теорему доведено.

З теореми 1.4 випливає низка цікавих наслідків.

Наслідок 1.4.1. Множина Z всіх цілих чисел зліченна.

Справді, подамо множину Z у вигляді Z = N ( {0} ( N'(, де N'( = { -1,-2,-3,... } - множина від’ємних цілих чисел, яка, очевидно, є зліченною.

Числова множина W називається щільною, якщо для будь-якої пари чисел a,b(W (a
Безпосередньо з означення випливає, що щільна множина завжди є нескінченною. Більш того, для кожної пари чисел a,b(W існує безліч чисел c(W, для яких виконується a
Очевидно, що множина Z цілих чисел, а також будь-яка її підмножина (зокрема, множина N натуральних чисел) - не щільні. У той же час множина Q раціональних чисел є щільною множиною. Справді, для будь-яких раціональних чисел r1 і r2 (r1
Здавалося б зі щільності множини раціональних чисел повинно було б випливати, що ця множина має більшу потужність, ніж множина N або множина Z. Однак має місце таке твердження.

Наслідок 1.4.2. Множина Q всіх раціональних чисел зліченна.

Справді, множину Q можна подати як об’єднання таких зліченних множин:

, n(Z),

, n(Z.

, n(Z,

.....................................................

, n(Z,

......................................................

Наслідок 1.4.3. Декартів добуток A(B зліченних множин A і B є зліченною множиною.

Справедливість цього твердження випливає з того, що множину всіх пар (a,b)(A(B, де A={a1,a2,...,an,...} і B={b1,b2,...,bn,...} можна подати як об’єднання такої зліченної сукупності зліченних можин

D1 = {(a1, b1 ), (a1, b2 ),..., (a1, bn ),... },

D2 = {(a2, b1 ), (a2, b2 ),..., (a2, bn ),... },

...........................................

Dk = {(ak, b1 ), (ak, b2 ),..., (ak, bn ),... },

...........................................

Зокрема, множина всіх точок координатної площини з раціональними координатами зліченна.

Наслідок 1.4.4. Декартів добуток Pn=A1(A2(...(An зліченних множин A1, A2,..., An - є зліченною множиною для довільного n.

Доведення проведемо методом математичної індукції.

Для n=1 P1=A1 і справедливість твердження випливає з умови зліченності множини A1. Нехай Pk-1=A1(A2(...(Ak-1 - зліченна множина. Тоді зліченність множини Pk = Pk-1(Ak випливає з наслідку 1.4.3.

Наслідок 1.4.5. Множина P усіх многочленів p(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an з раціональними коефіцієнтами ai(Q, i=0,1,...,n, n=0,1,2,..., є зліченною множиною.

Множину P можна подати у вигляді об’єднання зліченної сукупності множин Pn, де Pn - це множина многочленів з раціональними коефіцієнтами, степінь яких не перевищує n, n=0,1,2,.... Разом із тим, будь-якому многочлену p(x)=a0xn+a1xn-1+ ...+an-1x+an з множини Pn можна поставити у відповідність кортеж (a0,a1,a2,...,an), який складається з раціональних чисел ai - коефіцієнтів цього многочлена. Очевидно, ця відповідність є взаємно однозначною. Отже, Pn ~ Qn+1. Тоді з наслідків 1.4.2 і 1.4.4 випливає, що множина Pn - зліченна, а тому зліченною є і множина P.

Назвемо число алгебраїчним, якщо воно є коренем деякого многочлена з раціональними коефіцієнтами. Відомо, що кожен такий многочлен має скінченну кількість коренів (не більшу від степені многочлена). Таким чином, множину всіх алгебраїчних чисел можна подати у вигляді об’єднання зліченної сукупності скінченних множин. Отже, має місце