Множини і відношення, Детальна інформація

Усі введені вище теоретико-множинні операції та їхні властивості мають місце як для скінченних, так і для нескінченних множин. Суттєва різниця між скінченними та нескінченними множинами виявляється, коли мова заходить про "кількість елементів" та при спробі порівняти такі множини за "кількістю елементів". Тут слова "кількість елементів" беруться в лапки тому, що зрозуміла умовність та невизначеність цього поняття для нескінченних множин.

Одними з основних досягнень канторівської теорії множин є поширення поняття "кількість елементів" зі скінченних множин на нескінченні та формулювання принципу, за яким можна порівнювати за "кількістю елементів" нескінченні множини. Зокрема, несподіваним та незвичайним виявився той факт, що різні нескінченні множини можуть мати різну "кількість елементів", тобто для нескінченностей також існує своя ієрархія.

Канторівська ідея грунтується на такому спостереженні: для того щоб порівняти за кількістю елементів дві скінченні множини, зовсім необов'язково перелічувати елементи кожної з них. Можна діяти таким чином. Наприклад, необхідно порівняти за кількістю дві множини - множину S студентів та множину M всіх місць в аудиторіях факультету. Запропонуємо кожному студенту зайняти одне місце. Якщо кожен студент отримає місце і при цьому в аудиторіях не залишиться жодного вільного місця, то очевидно, що кількість елементів в обох множинах S і M однакова. У противному разі, множина S містить більше елементів ніж множина M, або навпаки. Очевидно, що запропонована процедура встановлює деяку функціональну відповідність між множинами S і M. У першому випадку ця відповідність виявляється взаємно однозначною, в той час як у другому і третьому випадках умови взаємної однозначності не виконуються: або порушується умова повної визначеності (принаймні один студент не дістав місця), або порушується умова сюр’єктивності (хоча б одне місце залишилося вільним).

Принагідно зауважимо, що багато хто з математиків вважає, що описаний простий спосіб порівняння кількостей елементів у двох скінченних множинах логічно передує виникненню поняття числа.

Кількість елементів скінченної множини A прийнято позначати через |A|.

Таким чином, неважко переконатись, що між двома скінченними множинами A і B існує взаємно однозначна відповідність тоді і тільки тоді, коли |A|=|B|.

Сформульоване твердження дозволяє розв'язувати задачу обчислення кількості елементів множини A шляхом встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною A і деякою множиною B, кількість елементів якої відома або легко може бути визначена. Для ілюстрації цього методу доведемо наступну важливу теорему про кількість підмножин заданої скінченної множини.

Теорема 1.1. Нехай A = {a1,a2,...,an} - скінченна множина з n елементів (|A|=n), тоді кількість усіх підмножин множини A дорівнює 2n, тобто 2|A|.

Доведення. Розглянемо множину всіх кортежів (b1,b2,...,bn) довжини n, які складаються з двійкових цифр 0 або 1 (тобто bi(B={0,1}, i=1,2,...,n). Очевидно, що множина цих кортежів є Bn.

Встановимо таку відповідність між підмножинами множини A і кортежами з Bn. Кожній підмножині A'(A поставимо у відповідність двійковий кортеж (b1,b2,...,bn) такий, що

( 0, якщо ai(A',

bi = (

( 1, якщо ai(A'.

За цим правилом порожній множині ((A відповідає кортеж (0,0,...,0), самій множині A - кортеж (1,1,...,1), а підмножині A' = {a2, a4 } - кортеж (0,1,0,1,0,...,0). Встановлена відповідність є взаємно однозначною. Отже кількість усіх підмножин множини A дорівнює |Bn |.

Методом математичної індукції доведемо, що |Bn| =2n.

Для n=1 маємо B1= B і |B| = 2 = 21.

Припустимо, що |Bk-1 | = 2k-1. З того, що кожному елементові (b1,b2,...,bk-1) множини Bk-1 відповідають два елементи (b1,b2,...,bk-1,0) і (b1,b2,...,bk-1,1) множини Bk випливає, що кількість елементів у множині Bk вдвічі більша від кількості елементів у множині Bk-1.

Тобто |Bk | =|Bk-1 |*2 =2k-1*2 = 2k. Теорема 1.1 доведена.

Множину всіх підмножин деякої множини A (скінченної або нескінченної) часто позначають через ((A) і називають булеаном множини A. З доведеної теореми випливає, що для скінченної множини A виконується | ((A)|= 2|A|.

Множини A і B назвемо рівнопотужними або множинами, які мають рівні (однакові) потужності, якщо існує взаємно однозначна відповідність між множинами A і B.

Таким чином, дві скінченні множини A і B мають однакову потужність тоді та лише тоді, коли вони складаються з однакової кількості елементів. Отже, поняття потужності є узагальненням поняття кількості елементів множини.

Зверніть увагу на те, що ми не означили безпосередньо поняття "потужність множини", а лише дали означення рівнопотужності множин. Кантор пропонував розуміти під потужністю ту спільну властивість, яку мають всі рівнопотужні множини. Виходячи з того, що для рівнопотужних скінченних множин такою спільною властивістю є кількість їхніх елементів, за аналогією переносять цю властивість на нескінченні множини, що, взагалі кажучи, не зовсім коректно, в чому ми переконаємось нижче.

Якщо рівнопотужність множин A і B позначити через A~B, то безпосередньо з означення випливають такі властивості рівнопотужності:

1. A~A (рефлексивність);

2. Якщо A~B, то B~A (симетричність); (1.9)

3. Якщо A~B і B~C, то A~C (транзитивність).

Наведемо декілька прикладів рівнопотужних нескінченних множин.

Приклад 1.12. 1. Множина натуральних чисел N рівнопотужна множині S={1,4,9,16,...}, яка складається з квадратів натуральних чисел. Необхідна взаємно однозначна відповідність встановлюється за законом (n,n2), n(N, n2(S.

2. Множина Z всіх цілих чисел рівнопотужна множині P всіх парних чисел. Тут взаємно однозначна відповідність встановлюється таким чином: (n,2n), n(Z, 2n(P.

3. Множина точок інтервалу (-(/2, (/2) рівнопотужна множині точок дійсної прямої. Шукана взаємно однозначна відповідність встановлюється за допомогою тригонометричної функції tg: (x,tg x), x((-(/2, (/2), tg x((-(,() (див. рис.1.3,а).