Множини і відношення, Детальна інформація

= E.

Окремо запишемо властивості операції симетричної різниці:

(B),

(A(B)(C = A((B(C) (асоціативність),

A(B = B(A (комутативність) (1.4)

A((B(C) = (A(B) ((A(C) (дистрибутивність відносно перетину),

, A(( = A.

Приклад 1.8. Покажемо істинність однієї з наведених тотожностей - правила де Моргана.

. (1.5)

Доведемо спочатку, що

. (1.6)

.

Доведемо обернене включення

. (1.7)

. Зі справедливості обох включень (1.6) і (1.7.) випливає істинність рівності (1.5).

Аналогічно можуть бути доведені всі інші наведені теоретико-множинні тотожності. Ці тотожності дозволяють спрощувати різні складні вирази над множинами.

Приклад 1.9. Послідовно застосовуючи тотожності з (1.2) і (1.3), маємо

)) (C = E(C = C.

5. Декартів (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A(B) називається множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A (a(A), а другий - множині B (b(B).

Тобто



Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A1, A2,..., An - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина

D = { (a1,a2,...,an) | a1(A1, a2(A2,..., an(An },

яка складається з усіх наборів (a1,a2,...,an), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині Ai, i=1,2,...,n. Декартів добуток позначається через A1( A2(...( An.

Набір (a1,a2,...,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1,a2,...,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,...,an) і (b1,b2,...,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,...,n. Отже, кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини {a,b,c} і {a,c,b} - рівні між собою.

Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A(A(...(A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An.

Прийнято вважати, що A0 = ( (n=0) і A1 = A (n=1).

Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то