Множини і відношення, Детальна інформація

Приклад 1.6. {a,b,c}({a,c,d,e} = {b,d,e},

{a,b}( {a,b} = (.

Введені теоретико-множинні операції можна проілюструвати діаграмою (рис.1.1).

Тут множини A і B - це множини точок двох кругів.

Тоді A(B - складається з точок областей І, ІІ, ІІІ,

A(B - це область ІІ,

A \ B - область І,

B \ A - область ІІІ,

A(B - області І і ІІІ.



Рис. 1.1.

д). У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі - множину комплексних чисел C, в арифметиці - множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії - множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

- називається множина всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A.

Тобто

( x(A.

= E \ A.

множини P всіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.

Зазначимо у вигляді тотожностей властивості введених вище теоретико-множинних операцій.

1. Асоціативність (A ( B) ( C = A ( (B ( C); (A(B)(C = A((B(C).

2. Комутативність A ( B = B ( A; A(B = B(A.

3. Дистрибутивність A((B(C)=(A(B)((A(C); A((B(C)=(A(B)((A(C),

4. Ідемпотентність A ( A = A; A(A = A. (1.2)

= A.

.

Зазначимо, що правила де Моргана припускають узагальнення для сукупності множин:

.

Наведемо ще ряд корисних теоретико-множинних тотожностей:

A ( ( = A, A(( = (;

A ( E = E, A(E = A;

= (; (1.3)