Множини і відношення, Детальна інформація

Другий спосіб є більш загальним способом задання множин. Наприклад, введену вище множину D всіх пар з елементів a, b і c можна задати так

D = { {x,y} | x({a,b,c}, y({a,b,c} і x ( y}. (1.1)

З метою зручності та одностайності при проведенні математичних викладок вводиться поняття множини, яка не містить жодного елемента. Така множина називається порожньою множиною і позначається (. Наприклад, якщо досліджується множина об’єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і в подальшому з’ясовується, що таких об’єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означати за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: (={x | x(x} тощо. Разом із тим, твердженням "множина M - непорожня" можна замінювати рівносильне йому твердження "існують елементи, які належать множині M".

3. Підмножини

Дві множини A і B називаються рівними (записується A=B), якщо вони складаються з тих самих елементів.

Множина A називається підмножиною множини B (записується A(B або B(A) тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься у множині B. Знаки ( і ( називаються знаками включення.

Неважко переконатись, що A=B тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: A(B і B(A. Крім того, якщо A(B і B(C, то A(C. Останні два факти часто використовуються при доведенні тверджень про рівність двох заданих множин.

Якщо A(B, однак A(B, то пишуть A(B і називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак ( (або (), на відміну від знака ( (або (), називається знаком строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини A виконується A(A. Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто ((A (зокрема, ((().

Слід чітко розуміти різницю між знаками ( і ( і не плутати ситуації їхнього вживання. Якщо {a}(M, то a(M, і навпаки.

Однак із включення {a}(M, взагалі кажучи, не випливає {a}(M. Для будь-якого об’єкта x виконується x((. Наприклад, для множини D (1.1) і її елементів виконуються такі співвідношення: {a,b}(D, {{a,b},{b,c}}(D, a({a,b}, {c}({a,c}, {a}({a,b}.

4. Операції над множинами та їхні властивості

Для множин можна ввести ряд операцій (теоретико-множинних операцій), результатом виконання яких будуть також множини. За допомогою цих операцій можна конструювати із заданих множин нові множини.

Нехай A і B деякі множини.

а) Об’єднанням множин A і B (позначається A(B ) називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно операція об’єднання множин записується так



Приклад 1.3. {a,b,c} ( {a,c,d,e} = {a,b,c,d,e}.

б) Перетином множин A і B (позначається A(B ) називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B одночасно. Тобто



Приклад 1.4. {a,b,c}({a,c,d,e} = {a,c},

{a,b,c}({d,e} = (.

Кажуть, що множини A і B не перетинаються, якщо A(B = (.

Ai) містить тільки ті елементи, які одночасно належать кожній з множин Ai.

в). Різницею множин A і B (записується A\B ) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже,



Приклад 1.5. {a,b,c} \ {a,d,c} = {b},

{a,c,d,e} \ {a,b,c} = {d,e},

{a,b} \ {a,b,c,d} = (.

г). Симетричною різницею множин A і B (записується A(B, A(B або A(B ) називається множина, що складається з усіх елементів множини A, які не містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A. Тобто