Задачі геометричного змісту, Детальна інформація

і 5. Чому дорівнює найбільше значення площі трикутника АВС?

Розв’язання.

Доведемо, що до шуканого трикутника виконується наступна властивість: пряма, яка проходить через довільну його вершину паралельно протилежній стороні, повинна дотикатися до відповідного кола.

Нехай пряма, проведена через С паралельно АВ, перетинає коло (мал.3). тоді. Переміщуючи С по одній з отриманих дуг в положенні С1, отримаємо трикутник АВС1, площа якого більша, ніж площа трикутника АВС.

Доведемо (при умові існування), що точка О – спільний центр кіл – для шуканого трикутника є точкою перетину висот (мал.4).

.

, звідки

,



. Більше дійсних коренів немає.



Отримали, що





Задача 12. Довести, що медіана, проведена до більшої сторони трикутника, утворює зі сторонами, які її заключають, кути, величиною кожного з них не менше половини найменшого кута трикутника.

Розв’язання.

. за теоремою синусів для \x0394САМ запишемо:

.

.



За теоремою косинусів для АВ з \x0394АВС:

АВ2=ВС2+АС2-2АС*ВС*cos
c2=a2+b2-2ab cos


Використавши вище проведені перетворення, запишемо:



Задача 13. Трикутник АВС і АМС розміщені так, що МС перетинає АВ в точці 0, причому АМ+МС = АВ+ВС. Довести, що АВ = ВС, то ОВ > OМ.

Розв’язання.

. Розглянемо трикутник МВА. Запишемо для сторони АМ за допомогою теореми косинусів рівність:

;