Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена, Детальна інформація

Реферат

на тему:

Ймовірнісний зміст

нерівності Йєнсена.

Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

, (1)



, то нерівність Йєнсена записують так:

, (2)



. В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх арифметичних середні зважені. Тобто

(5)



Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань [1-5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена О.Гельдером (Hoelder, 1889), а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном (Jensen, 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

. (7)



, якщо

(9)



- лінійна функція.

диференційована в цьому проміжку.

дискретний розподіл має вигляд:







З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції від математичного сподівання аргумента (рис.1).