Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня, Детальна інформація

.

            Якщо ці лінії перетинаються, то існує точка, спільна для обох ліній. Тому її координати повинні задовольняти обидва                                             рівняння. Отже, для знаходження точки їх перетину треба розв’язати систему рівнянь:



            Може виявитись, що ця система має кілька дійсних розв’язків. Це означатиме, що ці дві лінії перетинаються в такій самій кількості точок. Якщо система рівнянь не має дійсних розв’язків, то задані дві лінії не перетинаються, тобто не мають спільних точок.

 лінії



 мають лише одну спільну точку?

            Р о з в ’ я з о к. Для знаходження спільних точок розглянемо систему рівнянь:



 у перше рівняння одержимо



) мають лише одну спільну точку.

Б. Опис фігур на площині.

 - сталі величини, а

 - змінні, є рівнянням прямої на площині. Справді, з цього рівняння одержуємо

,

, які задовольняють це рівняння, зображають на площині точки, що належать цій прямій. Координати тих точок, які не лежать на прямій, не задовольняють рівнянню, тобто в результаті їх підстановки у рівняння в правій частині одержимо не нуль, а якесь число, відмінне від нуля, додатне або від’ємне.

, що належить якійсь півплощині, в результаті їх підстановки в рівняння дають число, більше нуля, то і всі точки цієї півплощини теж дадуть число, більше нуля. Тоді всі точки другої півплощини в результаті підстановки їх у рівняння дадуть число, менше нуля.

 - рівняння прямої. Побудуємо відповідну пряму і дослідимо півплощини, на які ця пряма ділить площину (рис. 3.2).

і

, то одержимо від’ємне

.

            У загальному випадку пряма

.

.

            Якщо треба включити і граничну лінію півплощини, то пишуть

 залежно від того, яка півплощина мається на увазі.

            Якщо задано систему нерівностей, то вона, взагалі кажучи, визначає деякий многокутник.

            Приклад 2. Побудувати фігуру, що описується системою нерівностей: