Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису. Ортогональна матриця., Детальна інформація

 функції утворюють лінійний простір.

 буде дійсним або комплексним лінійним простором в залежності від того чи будуть многочлени з дійсними або комплексними коефіцієнтами.











Добуток довільного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору





Вираз





 

4.3.2. Лінійна залежність. Базис

            Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

 називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. В противному випадку, тобто коли існує рівна нулю нетривіальна лінійна комбінація векторів, система векторів називається лінійно залежною.

 векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із векторів є лінійною комбінацією інших. Якщо в систему входить нульовий вектор, то вона є лінійно залежною.

  є лінійною комбінацією векторів цієї системи.

            Впорядкована система координат – це, коли кожному вектору в даній системі відповідає певний номер. Із однієї і тієї ж системи векторів можна одержати різні базиси, нумеруючи по-різному вектори.

            Коефіцієнти розкладу довільного вектора простору за векторами базису називаються компонентами або координатами вектора в цьому базисі.

який назвемо координатним стовпчиком вектора.

            Тоді ми можемо записати розклад вектора за базисом в такому вигляді

                                  (4.10)

            Теорема 1. В заданому базисі координати вектора визначаються однозначно.



            Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли лінійно залежні їх координатні стовпчики.

            Координатний стовпчик суми векторів дорівнює сумі їх координатних стовпчиків. Координатний стовпчик добутку вектора на число дорівнює добутку координатного стовпчика даного вектора на це число.

            Для доведення досить виписати такі рівності: