Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису. Ортогональна матриця., Детальна інформація

 векторів, то довільний інший базис в цьому просторі складається із того ж числа векторів.

Таким чином, наше припущення приводить до протиріччя. Теорема доведена.

- вимірний лінійний простір.

            В нульовому просторі немає базису, оскільки система, що складається із одного нульового вектора, є лінійно залежною. Розмірність нульового простору дорівнює нулю.

 лінійно незалежних векторів. Такий простір називається нескінченновимірним. Базису в ньому не існує.

:

                          (4.11)









            Рівність (4.11) можна записати в матричному вигляді

                             (4.12)

 одержимо





 З останньої рівності одержимо:

                                       (4.12)

4.3.3. Лінійні відображення і перетворення



виконуються рівності

            (4.13)

            Із означення випливає, що при лінійному відображенні лінійна комбінація векторів переходить в таку ж лінійну комбінацію їх образів.

 співпадають.

            Приклади.

            1. При афінному перетворенні простору трьохвимірний  простір  векторів відображається сам на себе. При цьому сума векторів переходить в суму образів, а результат множення вектора на число – в добуток його образу на це ж число. Тому афінне перетворення є лінійним.

 Так побудоване відображення, очевидно, є лінійним.

В силу властивостей множення матриць це відображення буде лінійним.

            4. Відображення, що співставляє кожному вектору нульовий, є лінійним. Воно називається нульовим відображенням.

 може бути представлений у вигляді