Інтегрування з допомогою заміни змінної та інтегрування частинами, Детальна інформація

Питання збіжності або розбіжності невласного інтеграла є досить важливим у застосуваннях. Якщо в результаті якихось досліджень одержали невласний інтеграл, перш ніж його обчислювати, потрібно встановити, існує він чи ні, буде збіжним чи розбіжним. Якщо він не існує або розбіжний, то його обчислення не потрібні. Кожен, хто візьметься за його обчислення, не дослідивши на збіжність, марно витратить час.

Правильні такі твердження:

.

 не прямує ні до якої границі: інтеграл не існує.

 виконується нерівність



 - збіжний.

Д о в е д е н н я.



 тобто

збіжний.

.



Приклади. Дослідити збіжність інтегралів:



, то

 інтеграл розбіжний.

б) Інтегруванням частинами дістанемо

 

 інтеграл збіжний абсолютно, бо



 інтеграл розбіжний.

, виконуватиметься і дана нерівність.

 .

 заданий інтеграл розбіжний.

На основі теореми порівняння створено ряд конкретних критеріїв збіжності невласних  інтегралів. Заслуговує на увагу і такий критерій збіжності:

50. Якщо існує границя

 ,

, а із розбіжності першого інтеграла при C > 0 випливає розбіжність другого.

            Сформулюємо ще одну ознаку збіжності, незалежну від теореми порівняння і застосовну навіть для знакозмінної підінтегральної  функції.