Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за степенями (x-a), Детальна інформація

1.3. Функціональні властивості суми ряду

            Ми переходимо тепер до вивчення функціональних властивостей суми ряду, складеного із функцій, в зв’язку із властивістю останніх.

функцій є неперервна на цьому відрізку функція. Для суми ряду (що складається із безмежного числа доданків) ця властивість не зберігається. Тут необхідні додаткові вимоги на неперервні доданки.



            Зауваження. Рівномірна збіжність фігурує в теоремі лише як достатня умова і не потрібно думати, що ця умова є необхідною для неперервності суми ряду. Наприклад, ряд



 має неперервну суму, тотожньо рівну нулю, хоча на цьому відрізку ряд збігається нерівномірно.

:

                                 (13.30)

 збігається рівномірно, то збігається і ряд, складений із цих границь:

                                         (13.31)

 границю, а саме:

                                   (13.32)

Рівність (13.32) можна записати в такому  вигляді:

                (13.33)

            Таким чином, при наявності рівномірної збіжності функціонального ряду, границя суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із границь його членів, або, іншими словами, допустимий граничний перехід ”почленно”.

  і складений з них ряд (13.22) збігається на цьому проміжку рівномірно, то інтеграл від суми ряду (13.22) можна представити таким чином:

  (13.34)

Рівність (13.34) можна записати ще так:

                  (13.35)

            Отже, у випадку рівномірної збіжності функціонального ряду, інтеграл від суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із інтегралів від його членів, або, іншими словами, допустиме ”почленне” інтегрування ряду.

. Якщо в цьому проміжку ряд (13.22) збігається і, крім того, рівномірно збігається ряд, складений із похідних:

,               (13.36)

 похідну, причому

                                      (13.37)

            Рівність (13.37) можна записати так:

                            (13.38)

           

2. Степеневі ряди